ალექსანდრე (ლექსო) გრძელიშვილი დაიბადა ქუთაისში. 1930-იან წლებში დაამთავრა ქუთაისის ალექსანდრე წულუკიძის სახელობის პედაგოგიური ინსტიტუტის მათემატიკის ფაკულტეტი.

1941 წლის 8 იანვარს დაქორწინდა ვენერა აფხაძეზე.

1941 წლის 17 ივნისს, ალექსანდრე გრძელიშვილი გაიწვიეს საბჭოთა არმიაში, სამხედრო სამსახურში. მისი გაწვევიდან მალე დაიბადა ვენერას და ალექსანდრეს შვილი ქებარი გრძელიშვილი, რომელიც ლექსოს არასდროს უნახავს.

უმაღლესი ტექნიკური განათლების გამო ჩარიცხეს საარტილერიო ნაწილში და შესაბამისი სამეთაურო კურსების გავლის შემდეგ მიენიჭა გვარდიის არტილერიის ტექნიკოსი ლეიტენანტის წოდება.

იბრძოდა მეორე მსოფლიო ომის ფრონტებზე. მსახურობდა 409-ე მსროლელი დივიზიის 677-ე მსროლელ პოლკში, შემდგომში 54-ე გვარდიული მსროლელი დივიზიის 125-ე გვარდიულ საარტილერიო პოლკში.

1944 წლის 8 აგვისტოს დააჯილდოვეს წითელი დროშის ორდენით.

დაიღუპა 1945 წლის 25 იანვარს, აღმოსავლეთ პრუსიაში, დღევანდელ კალინინგრადის ოლქში. დაკრძალულია ქალაქ ჩერნიახოვსკის (1946 წლამდე ინსტერბურგში) ახლოს სოფელ პატრინენზასკის ძმათა სასაფლაოზე.